Постановка задачи. Образует ли линейное пространство заданное множество , в котором определены «сумма» любых двух элементов и и «произведение» любого элемента на любое число .

План решения.

Пусть, задано некоторое множество , элементы которого будем называть векторами (независимо от природы элементов множества). Наряду с множеством векторов будем рассматривать числовое поле , под которым подразумевается поле комплексных чисел либо поле вещественных чисел . Элементы будем обозначать латинскими малыми буквами, а элементы множества – греческими малыми буквами.

Определение. Пара называется линейным пространством, если () задан закон, по которому любой паре векторов сопоставлен вектор, называемый их суммой и обозначаемый символом , причем для любых выполнено: () ; () ; () для любого существует нуль-вектор , что ; () для любого существует противоположный вектор , что ; () задан закон, по которому для любого и любого числа сопоставлен вектор , называемый произведением числа на вектор , причем выполнено: () ; () ; () ; () .

Исходя из определения линейного пространства, проверяем следующие условия.

1. Являются ли введенные операции сложения и умножения на число замкнутыми в , т.е. верно ли, что и

?

Если нет, то множество не является линейным пространством, если да, то продолжаем проверку.

2. Находим нулевой элемент такой, что

.

Если такого элемента не существует, то множество не является линейным пространством, если существует, то продолжаем проверку.

3. Для каждого элемента определяем противоположный элемент такой, что

.

Если такого элемента не существует, то множество не является линейным пространством, если существует, то продолжаем проверку.

4. Проверяем выполнение остальных аксиом линейного пространства, т.е. и :

Если хотя бы одна из этих аксиом нарушается, то множество не является линейным пространством. Если выполнены все аксиомы, то множество – линейное пространство.

Задача 1. Образует ли линейное пространство заданное множество, в котором определены сумма любых двух элементов и и произведение любого элемента на любое число ?

Множество всех векторов, лежащих на одной оси; сумма , произведение .

Введенные таким образом операции являются замкнутыми в данном множестве, т.к. сумма двух векторов лежащих на одной оси есть вектор лежащий на той же оси и произведение вектора на число также будет вектором на той же оси.

Проверим выполнение аксиом линейного пространства.

Аксиомы группы :

: – выполняется;

: – выполняется;

: в качестве нуля возьмем нуль-вектор, т.к. ;

: в качестве противоположного элемента возьмем противоположный вектор , т.к. .

Аксиомы группы :

: – выполняется;

: – выполняется;

: – выполняется;

: – выполняется.

Т.е. множество всех векторов, лежащих на одной оси с суммой и произведением является линейным пространством.

Линейная зависимость векторов

Постановка задачи. Исследовать на линейную зависимость систему векторов , , .

План решения.

Определение. Система векторов называется линейно-зависимой, если существуют такие числа , среди которых хотя бы одно не равно нулю, что выполнено

.

Теорема. Для того, чтобы система, состоящая из трех векторов, была линейно-зависимой, необходимо и достаточно, чтобы тройка векторов была компланарной.

1. Составляем смешанное произведение векторов:

.

2. Если определитель в правой части равенства равен нулю, то данная система векторов линейно зависима; если же определитель не равен нулю, то векторы линейно независимы.

Замечание. Если необходимо исследовать на линейную зависимость систему функций , то необходимо составить определитель Вронского

.

Если данный определитель равен нулю, то система функций линейно зависима.

Задача 2. Исследовать на линейную зависимость систему векторов.

Пример 1.

Составляем определитель из координат данных векторов:

.

Так определитель не равен нулю, то данная система векторов линейно независима.

Пример 2.

на .

Составим определитель Вронского:

Т.е. данная система функций линейно зависима.

Системы линейных однородных уравнений

Постановка задачи. Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений системы

План решения.

1. Записываем матрицу системы:

и с помощью элементарных преобразований преобразуем матрицу к треугольному виду, т.е. к такому виду, когда все элементы, находящиеся ниже главной диагонали равны нулю. Ранг матрицы системы равен числу линейно независимых строк, т.е., в нашем случае, числу строк, в которых остались ненулевые элементы:

.

Размерность пространства решений равна . Если , то однородная система имеет единственное нулевое решение, если , то система имеет бесчисленное множество решений.

2. Выбираем базисных и свободных переменных. Свободные переменные обозначаем . Затем базисные переменные выражаем через свободные, получив таким образом общее решение однородной системы линейных уравнений.

3. Записываем базис пространства решений системы полагая последовательно одну из свободных переменных равной единице, а остальные нулю. Размерность линейного пространства решений системы равна количеству векторов базиса.

Примечание. К элементарным преобразованиям матрицы относят:

1. умножение (деление) строки на множитель, отличный от нуля;

2. прибавление к какой-либо строке другой строки, умноженной на любое число;

3. перестановка строк местами;

4. преобразования 1–3 для столбцов (в случае решения систем линейных уравнений элементарные преобразования столбцов не используются).

Задача 3. Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений системы.

Выписываем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приводим ее к треугольному виду:

Полагаем , тогда

Базис:

.

Размерность линейного пространства решений равна 3.

Преобразование координат вектора

Постановка задачи. Вектор в базисе имеет координаты . Найти координаты вектора в базисе , где

План решения.

Переход от первого базиса ко второму задается матрицей:

.

Переход от второго базиса к первому задается обратной матрицей .

Переход от координат вектора относительно первого базиса к координатам этого же вектора относительно второго базиса осуществляется так же с помощью матрицы .

1. Выписываем матрицу перехода:

.

2. Находим обратную матрицу .

3. Координаты искомого вектора находим по формуле:

,

где и – столбцы координат вектора в базисах и .

Задача 4. Найти координаты вектора в базисе , если он задан в базисе .

Переход от первого базиса ко второму задается матрицей

.

Переход от второго базиса к первому задается обратной матрицей .

Переход от координат вектора относительно первого базиса к координатам этого же вектора относительно второго базиса осуществляется так же с помощью матрицы .

Найдем обратную матрицу. Вычисляем определитель:

.

Находим алгебраические дополнения.

;

;

.

Обратная матрица:

.

Тогда

.

Значит, координаты вектора в базисе будут

.

Линейные операторы

Постановка задачи. Пусть в некотором базисе линейного пространства задан произвольный вектор . Является ли линейным оператор такой, что

,

где – некоторые функции переменных.

План решения.

При линейном преобразовании координаты получившегося вектора будут линейными комбинациями координат исходного вектора. Т.е. если в функциях присутствуют нелинейные слагаемые или среди слагаемых есть свободный член, то преобразование не является линейным.

Задача 5. Пусть . Являются ли линейными следующие преобразования.

Здесь линейным преобразованием будет только преобразование , т.к. при линейном преобразовании координаты получившегося вектора будут линейными комбинациями координат исходного вектора. Матрица линейного оператора :

Действия с операторами и их матрицами

Постановка задачи. В некотором базисе трехмерного пространства заданы линейные преобразования

где – произвольный вектор.

Найти координаты вектора , где – многочлен относительно операторов и .

План решения.

Так как при сложении операторов их матрицы складываются, при умножении на число – умножаются на это число, а матрица композиции операторов равна произведению их матриц, то нужно найти матрицу , где и – матрицы операторов и . Затем столбец координат вектора находим по формуле , где – столбец координат вектора .

1. Выписываем матрицы операторов и :

.

2. По правилам сложения матриц, умножения матрицы на число и умножения матриц находим матрицу :

.

3. Находим столбец координат образа вектора :

.

Откуда .

Задача 6. Пусть , , . Найти

.

Матрицы операторов и :

.

Находим:

.

.

Таким образом .

Преобразование матрицы оператора

Постановка задачи. Найти матрицу некоторого оператора в базисе , где

если в базисе его матрица имеет вид

.

План решения.

При переходе от базиса к базису матрица оператора преобразуется по формуле

,

где – матрица перехода от базиса к базису .

1. Выписываем матрицу перехода:

.

2. Находим обратную матрицу .

3. Находим матрицу оператора в базисе по формуле

.

Задача 7. Найти матрицу в базисе , где

,

если она задана в базисе .

.

Матрица в базисе находится по формуле

.

где

.

Найдем обратную матрицу .

Определитель:

.

Алгебраические дополнения:

;

;

.

Обратная матрица:

.

Находим матрицу в новом базисе:

Т.е. матрица в базисе имеет вид:

.

Матрица, образ, ядро оператора

Постановка задачи. Задан оператор , осуществляющий некоторое преобразование пространства геометрических векторов . Доказать линейность, найти матрицу, образ и ядро оператора .

План решения.

1. По определению доказываем линейность оператора , используя свойства операций над геометрическими векторами в координатной форме, т.е. проверяем, что и

и .

2. Строим матрицу оператора .

3. Находим образ и ядро оператора .

Задача 8. Доказать линейность, найти матрицу, область значений и ядро оператора проектирования на плоскость .

Если , то .

Оператор является линейным, если

и .

Проверяем

.

Т.е. оператор является линейным.

Его матрица:

.

Область значений оператора – это множество всех векторов

.

Ядро линейного оператора – это множество всех векторов, которые отображает в нуль-вектор:

.

Собственные значения и собственные векторы оператора

Постановка задачи. Найти собственные значения и собственные векторы оператора , заданного в некотором базисе матрицей

.

План решения.

Собственные значения оператора являются корнями его характеристического уравнения .

1. Составляем характеристическое уравнение и находим все его вещественные корни (среди которых могут быть и кратные).

2. Для каждого собственного значения находим собственные вектора. Для этого записываем однородную систему уравнений

и находим ее общее решение.

3. Исходя из общих решений каждой из однородных систем, выписываем собственные векторы .

Задача 9. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы.

.

Составляем характеристическое уравнение и находим его решение:

.

Собственные значения: .

Найдем собственные вектора:

:    

:    

Собственные вектора:

.

Канонический вид квадратичной формы. Метод Лагранжа

Постановка задачи. Привести квадратичную форму

к каноническому виду методом Лагранжа.

План решения.

Метод Лагранжа заключается в последовательном выделении полных квадратов. Не ограничивая общности рассуждений, полагаем, что .

где – квадратичная форма, в которую входят лишь переменные .

Делаем замену

,

после которой

,

где .

Предложенный алгоритм применяем к и после конечного числа шагов приходим к каноническому виду квадратичной формы:

.

Задача 10. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа

.

Применяя метод Лагранжа, получаем:

где .

Канонический вид квадратичной формы. Ортогональное преобразование

Постановка задачи. Привести квадратичную форму

к каноническому виду ортогональным преобразованием.

План решения.

Теорема. Любую квадратичную форму

ортогональным преобразованием всегда можно привести к следующему каноническому виду:

,

где – корни характеристического уравнения , встречающиеся столько раз, какова их кратность.

Задача 11. Привести квадратичную форму к каноническому виду ортогональным преобразованием.

Матрица квадратичной формы:

.

Найдем характеристический полином матрицы квадратичной формы:

Т.е. имеем следующий канонический вид квадратичной формы:

.

Теория вероятности есть наука, изучающая закономерности случайных явлений.

Случайное явление – это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз по-разному.

В природе нет ни одного физического явления, в котором бы не присутствовали элементы случайностей. Факторы, влияющие на случайности, являются случайными и второстепенными.

Под событием в теории вероятности понимается всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Если количественно сравнивать между собой события по степени их возможности, нужно с каждым событием связать число, которое тем больше, чем более возможно событие. Такое число называется вероятностью Р.

Для достоверного события Р=1, для невозможного события Р=0. Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если появление одного из них не более возможно, чем другого Непосредственный подсчет вероятности.

Для того, чтобы определить в опыте вероятность непосредственно из условий самого опыта, необходимо, чтобы различные исходы опыта обладали симметрией, и в силу этого были объективно одинаково возможны.

Несколько событий в одном опыте образуют полную группу событий, если в результате опыта непременно должно появиться хотя бы одно из них.

Несколько событий называются несовместными в данном опыте, если никакие 2 из них не могут появляться вместе.

Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если по условию симметрии есть основания считать, что ни одно из этих событий не является объективно более возможным, чем другие.

Существуют группы событий, обладающих всеми 3мя свойствами. Такие события называются случаями, и решение такой задачи называется схемой случаев или схемой урн. Классическая формула вероятности решает задачи, попадающие под схему урн.

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно.

Случайные величины, которые принимают только отдельные друг от друга значения, называются дискретными.

Случайные величины, всевозможные значения которых заполняют собой некоторый промежуток, называются непрерывными.

Суммой 2х событий А и В называют событие С, состоящее в выполнении или события А, или события В, или 2х одновременно.

Произведением 2х событий А и В называется событие С, состоящее в совместном появлении событий А и В.

Классическое определение вероятности.

Если n-общее число элементарных событий и все они равновозможные, то вероятность события А:

,

 где m_A- число исходов, благоприятствующих появлению события А.

Классическая формула вероятности решает задачи, попадающие под схему урн.

Частота или статистическая вероятность.

Частота – отношение числа появлений нужного события к общему числу опытов.

р=0 – для невозможных событий и р=1 для достоверных событий.

Частоту событий называют статистической вероятностью, и про нее говорят, что при увеличении количества опытов частота сходится по вероятности увеличения Р.

Геометрическая вероятность. Задача о встрече.

Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности — вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т. д.).

Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезок L наудачу поставлена точка. Это означает выполнение следующих предположений: поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка L, вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L. В этих предположениях вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством

Р = Длина l / Длина L.

З а м е ч а н и е 1. Приведенные определения являются частными случаями общего определения геометрической вероятности. Если обозначить меру (длину, площадь, объем) области через mes, то вероятность попадания точки, брошенной наудачу (в указанном выше смысле) в область g — часть области G, равна

Р = mes g / mes G.

З а м е ч а н и е 2. В случае классического определения вероятность достоверного (невозможного) события равна единице (нулю): справедливы и обратные утверждения (например, если вероятность события равна нулю, то событие невозможно). В случае геометрического определения вероятности обратные утверждения не имеют места. Например, вероятность попадания брошенной точки в одну определенную точку области G равна нулю, однако это событие может произойти, и, следовательно, не является невозможным.

Задача о встрече:

Два лица и условились встретиться в определенном месте между двумя и тремя часами дня. Пришедший первым ждет другого в течении 10 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи этих лиц, если каждый из них может прийти в любое время в течение указанного часа независимо от другого?

Решение.   Будем считать интервал с 14 до 15 часов дня отрезком [0,1] длиной 1 час. Пусть («кси») и («эта»)  —  моменты прихода и (точки отрезка [0,1]). Все возможные результаты эксперимента  –  множество точек квадрата со стороной 1:  .

Можно считать, что эксперимент сводится к бросанию точки наудачу в квадрат. При этом благоприятными исходами являются точки множества (10 минут = 1/6 часа). То есть попадание в множество наудачу брошенной в квадрат точки означает, что и встретятся. Тогда вероятность встречи равна

Теоремы сложения вероятностей

Теорема: Вероятность суммы 2х несовместных событий равняется сумме их вероятностей.

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Д-во:

Используем схему случаев, из которых m~A, k~B, P(A)=m/n, P(B)=k/n. Поскольку А и В несовместные, то получается, что

m+k=A+B

P(A+B)= (m+k)/n=m/n+k/n=P(A)+P(B )/

1.                       Если события А1…Аn образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей = 1. Противоположными называются 2 несовместных события, которые образуют полную группу {0;P}

A=”0” – P

A=”P” – q

2.                       Сумма вероятностей события и его противоположности равняется 1

P(A)+P(-A)=1

p+q=1

3.                       Вероятность суммы 2х совместных событий А и В равняется сумме их вероятности без учета вероятности их совместного появления.

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Теоремы умножения вероятностей

Событие А называется независимым от события B, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет.

 - критерий независимости событий

События А и В называются независимыми тогда, когда Р(АВ) = Р(А)*Р(В)

Вероятность события А, вычисляемая при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью Р(А/В)=P(AB)/P(B).

Свойства условных вероятностей.

Свойства условных вероятностей аналогичны свойствам безусловных вероятностей.

1.           0 £ Р(А/В) £ 1, т.к. ; АВ Ì В, Р(АВ) £ Р(В)

2.           Р(А/А)=1

3.           ВÌА, è Р(А/В)=1

4.          

5.           Р[(A+C)/B] = Р(А/В) + Р(C/В) – Если события А и С несовместны

Р[(A+C)/B] = Р(А/В) + Р(C/В) - Р(АC/В) – Если события А и С совместны

Теорема. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного события на условную вероятность другого.

Док-во:

P(AB)=l/n;  P(A)=m/n; P(B/A)=l/m; l/n=m/n * l/m => P(AB)=P(A)*P(B/A)

Следствия:

1.                       Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А

2.                       Вероятность произведения 2х независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

P(AB)=P(A)*P(B)

 Формула полной вероятности

Формула полной вероятности является следствием теории сложения и умножения. Пусть требуется определить вероятность некоторого события А, которое может произойти вместе с событиями H1…Hn, образующих полную группу несовместных событий. Эти события называются гипотезами.

Докажем, что вероятность события А будет вычисляться по формуле:

Доказательство: Т.к. гипотезы Hi образуют полную группу, то событие А может появиться только в комбинации с какой-нибудь из гипотез. Т.к. гипотезы несовместны, то и комбинации будут несовместны, поэтому к ним можно применить теорему сложения:

А=Н1*А+Н2*А+…+Hn*A;

Формула Бейеса

Имеется полная группа несовместных гипотез H1…Hn. Вероятность этих гипотез до опыта известна. Произведен опыт, в результате которого произошло событие А.

Условные вероятности гипотез находятся по формуле:

P(A*Hi)=P(A)*P(Hi/A)=P(Hi)*P(A/Hi);

 - Ф-ла Бейеса.

Повторение испытаний. Частная теорема о повторении опыта.

На практике часто прилагаются задачи, в которых один и тот же опыт повторяется неоднократно., причем нас интересует не отдельное, а общее число появлений события А в серии опытов. Предположим, что опыты являются независимыми величинами. Независимые опыты могут проводиться в одинаковых или разных условиях. При одинаковых условиях вероятность события А будет одинаковой и к нему относится частная теорема. Если опыты разные, то к нему относится общая теорема о повторении опытов.

Частная теорема:

Вероятность одного сложного события, состоящего в том, что в n испытаниях событие A наступит ровно k раз и не наступит n-k раз, по теореме умножения вероятностей независимых событий равна .Таких сложных событий может быть столько, сколько можно составить сочетаний из n элементов по k элементов, т.е. . Т.к. эти сложные события несовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий искомая вероятность равно сумме вероятностей всех возможных сложных событий. Поскольку вероятности всех этих сложных событий одинаковы, то искомая вероятность равна вероятности одного сложного события, умноженной на их число:

. Эта формула называется формулой Бернулли.

Определение вероятностей по формуле Бернулли усложняется при больших значениях n и при малых p или q. В этом случае удобнее использовать приближенные асимптотические формулы. Если , а , но , то в этом случае

Эта формула определяется теоремой Пуассона. Если в схеме Бернулли количество опытов n достаточно велико , а вероятность р события А в каждом опыте постоянно, то вероятность  может определяться по приближенной формуле Муавра-Лапласа:

,

где ;

 - локальная функция Лапласа, которая табулирована и приводится в справочниках. Данная формула отражает, так называемую, локальную теорему Муавра-Лапласа.

Вероятность появления события А не менее m раз при n опытах вычисляется по формуле:

Вероятность появления события А хотя бы один раз при n опытах

Наивероятнейшее число  наступление события А в n опытах, в каждом из которых оно может наступить с вероятностью p (и не наступить с вероятностью q=1-p), определяется из двойного неравенства

Если событие А в каждом опыте может наступить с вероятностью p, то количество n опытов, которое необходимо произвести для того, чтобы с заданной вероятностью Рзад. можно было утверждать, что данное событие А произойдет по крайней мере один раз, находится по формуле:

Частная теорема о повторении опытов касается того случая, когда вероятность события А во всех опытах одна и та же.

Общая теорема о повторении опытов. Производящая функция.

Если производятся n независимых опытов в различных условиях, причем вероятность появления события А в i-м опыте равна  то вероятность Р того, что событие А в n опытах появится m раз, равна коэффициенту при Z в разложении по степеням Z производящей функции  где

Функция распределения случайной величины.

Рассмотрим дискретную случайную величину Х со своими значениями, каждое из которых является возможным, но не равновозможным: p(x1)=p1 … p(xn)=pn. Сумма pi=1- критерий сходимости.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, которое связывает между собой значения всякой величины и ее вероятности.

Функция распределения:

Для непрерывной случайной величины невозможно составить закон распределения, поэтому для количественной характеристики удобно пользоваться не вероятностью отдельного события Х, а вероятностью события Х<x, где х – некоторая текущая переменная. Эти вероятности образуют некоторую функцию оси X.

F(x)=F(X<x)- интегральный закон распределения.

Свойства:

1.                       Функция F(x)-неубывающая функция.

Любой x2>x1 => F(x2)≥F(x1).

Д-во: Пусть х2>х1. Событие, состоящее в том, что Х примет значение, меньшее х2, можно подразделить на 2 несовместных события:

1)      Х примет значение, меньшее х1, с вероятностью Р(Х<x1)

2)      Х примет значение, удовлетворяющее неравенству x1≤X<x2, с вероятностью Р(x1≤X<x2).

По теореме сложения имеем

P(X<x2)=P(X<x1)+P( x1≤X<x2). Отсюда: P(X<x2)-P(X<x1)= P( x1≤X<x2) или F(x2)-F(x1)=P(x1≤X<x2). Так как любая вероятность есть число неотрицательное, то F(x2)-F(x1)≥0, или F(x2)≥F(x1), чтд.

2.                       F(-∞)=0

3.                       F(∞)=1

4.                       Значения функции распределения принадлежат отрезку [0;1]

0≤F(x)≤1

Д-во: Свойство вытекает из определения функции распределения как вероятности: вероятность всегда есть неотрицательное число, не превышающее 1.

Функция распределения есть вероятность того, что случайная величина X, в результате нашего опыта попадает левее т. х.

Для дискретных случайных величин также можно составить функцию распределения:

F(x)=P(X<x)=.

Вероятность попадания случайной величины на заданный участок.

P(α≤x≤β)=F(β)-F(α).

Вероятность попадания для непрерывной случайной величины в любое отдельное значение =0.

Плотность распределения

Плотность распределения - производная абсолютно непрерывной функции распределения.

P(x<X<x+∆x)=F(x+∆x)-F(x)

P(α<x<β)=

F(x)=P(X<x)=P(-∞<X<x)

F(x)=

Основные свойства плотности распределения:

1.                       f(x)≥0

Д-во: Функция распределения – неубывающая функция, следовательно, ее производная – функция неотрицательная.

2.                       =1

Несобственный интеграл  выражает вероятность события, состоящего в том, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу(-∞;∞). Очевидно, такое событие достоверно, следовательно, вероятность его равна 1.

Эти 2 свойства геометрически определяют то, что кривая распределения всегда лежит выше оси Ох и площадь под кривой равна 1.

Числовые характеристики случайных величин.

Числовые характеристики случайной величины – числа, суммарно описывающие случайную величину.

Математическое ожидание:

Для дискретной случ. величины – сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

M(x)=x1p1+x2p2+…+xnpn

Если дискретная случ. величина Х принимает счетное множество возможных значений, то

причем мат ожидание существует, если ряд в правой части сходится абсолютно.

Математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности этого события.

Вероятностный смысл : математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Математическое ожидание M(X) числа появлений события А в n  независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления событий в каждом испытании: M(X)=np.

Для непрерывной случ величины:

Отклонением называют разность между случ величиной и ее мат ожиданием.

Мат ожидание отклонения равно 0: M[X-M(X)]=0, т.к. M[X-M(X)]=M(X)-M[X(X)]=M(X)-M(X)=0.

Дисперсия:

Для дискретной случ величины - мат ожидание квадрата отклонения случ величины от ее мат ожидания: D(X)=M[X-M(X)]². Для тот, чтобы найти дисперсию, достаточно вычислить сумму произведений возможных значений квадрата отклонения на их вероятности

D(X)=M(X²)-[M(X)]²

Д-во: D(X)= M[X-M(X)]²=M[X²-2XM(X)+M²(X)]=M(X²)-2M(X)M(X)+M²(X)=M(X²)-M²(X).

Дисперсия числа появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность p появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании: D(X)=npq.

Для непрерывной случ величины:

Среднее квадратическое отклонение:

 – для оценки рассеяния возможных значений случ величины вокруг ее среднего значения.

Начальный момент: 

Центральный момент:

Мода случ величины – наиболее вероятное значение этой случ величины.

Медиана – это такое значение, для которого выполняется равенство p(x<Me)=P(x>Me). Геометрически это означает, что медиана является абсциссой точки, которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам.

Неравенство Чебышева

Пусть имеется случ величина Х, заданная mx и D(x). Неравенство Чебышева утверждает, что каково бы ни было положительное число α, вероятность того, что величина Х отклонится от своего мат ожидания не меньше, чем на α, ограничено сверху величиной:

Д-во:

Возьмем произвольное положительное число α>0 и вычислим вероятность того, что величина Х отклонится от своего mx не меньше чем на α.

Вероятность  , т.е. надо просуммировать вероятности значений, которые не лежат на AB.

Т.к. не все члены суммы не отрицательны, то D(x) можно уменьшить , взяв не все значения xi:

что и требовалось доказать.

Теорема Чебышева

Среднее арифметическое (, my=mx, D(y)=D(x)/n) случ величины Х есть случ величина с очень маленькой дисперсией и при достаточно большом n ведет себя как не случ.

Теорема Чебышева:

При достаточно большом числе независимых опытов, среденее арифметическое наблюдаемых значений случ величины сходится по вероятности к ее mх.

P(|xn-a|<ε)>1-δ,  ε, δ -> 0.

P(|(∑xi/n) - mx|1-δ

Д-во:

Y=∑xi/n, my=mx, Dy=Dx/n.

Применим к случ величине Y неравенство Чебышёва.

P(|y-my|≥ε)≤Dy/ε²=Dx/nε².

P(|(∑xi/n)-mx|≥ε)≤δ

P(|(∑xi/n)-mx|<ε)>1-δ

Обобщенная теорема Чебышева и теорема Маркова.

Обобщенная теорема Чебышёва:

Если х1…хn независимые случ величины, заданные своими мат ожиданиями и дисперсиями, и сами все дисперсии ограничены сверху одним и тем же числом L (D(x)<L), то при возрастании n ср. арифметическое наблюдаемых значений сходится к среднему арифметическому их мат ожиданий:

P(|(∑xi/n) – (∑mxi/n)|<ε)>1-δ;

Теорема Маркова:

Если имеются ЗАВИСИМЫЕ случ величины х1..хn и если при n->∞ выполняется условие , то среднее арифметическое наблюдаемых значений случ величины Х сходится к среднему арифметическому их мат ожидания.

Характеристические функции

Характеристической функцией случ величины Х называется функция , которая представляет собой мат ожидание некоторой комплексной величины . Если х является дискретной случ величиной, заданной своим законом распределения, то ее характеристическая функция выглядит так:

Если х - непрерывная случ величина, то ее характеристическая функция:

Преобразование,  которому надо подвергнуть f(x), чтобы получить g(x), является преобразование Фурье.

Свойства характеристических функций:

1.       y=ax, gy(t)=gx(at)

2.       y=∑Xk, gy(t)=∏gxk(t)

Центральная предельная теорема

Если x1…xn – независимые случ величины, имеющие один и тот же закон распределения, с мат ожиданием и дисперсией, то при неограниченном увеличении n, закон распределения Y неограниченно приближается к нормальному закону.

Yn=∑Xk

Д-во: согласно 2му свойству характеристической функции (все значения имеют одинаковый закон распределения, а значит и характеристическая функция у всех одинакова):

…

Следствие из теоремы Ляпунова-теоремы Лапласа.

Теорема Лапласа:

x1…xn – независимые случ величины, заданные своими мат ожиданиями и дисперсией. Предположим, что условия центральной предельной теоремы выполнены и число слагаемых достаточно для того, чтобы случ величина Y=∑Xi была распределена по нормальному закону. Тогда

Д-во: Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых событие А может появиться с вероятностью p. Согласно теореме Ляпунова следующие случ величины будут приближаться к нормальному закону распределения:

Локальная теорема Лапласа:

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А равняется pn, наступит ровно k раз приблизительно равно:

Интегральная теорема Лапласа:

Вероятность того что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А=р, событие наступит не меньше к1 раз и не больше к2 раз, равна:

Pn(k1,k2)≈Ф(Xk2)-Ф(Xk1).

Xk1=(k1-np)/;  Xk2=(k2-np)/; 

Свойства числовых характеристик(мат ожидание, дисперсия).

Мат ожидание:

1.       Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

M(C)=C

Д-во: Будем рассматривать постоянную С как дискретную случайную величину, которая имеет одно возможное значения С и принимает его с вероятностью р=1. М(С)=С*1=С.

2.        Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(СХ)=СМ(Х)

 Д-во: Пусть случайная величина Х задана законом распределения вероятностей:

 или

Математическое ожидание случ. величины СХ:

 M(CX)=Cx1p1+Cx2p2+…Cxnpn=C(x1p1+x2p2+…xnpn)=CM(X) => M(CX)=CM(X).

3.       Математическое ожидание произведения двух независимых случ. величин равно произведению их мат ожиданий. M(XY)=M(X)M(Y)

Д-во: Пусть независимы случайные величины Х и Y заданы своими законами распределения вероятностей:

Составив все значения, которые может принимать случ. величина XY, напишем закон распределения XY.

Мат ожидание равно сумме произведений всех возможных значений на их вероятности:

M(XY)=x1y1*p1g1+x2y1*p2g1+x1y2*p1g2+x2y2*p2g2=y1g1(x1p1+x2p2)+y2g2(x1p1+x2p2)=

=(x1p1+x2p2)(y1g1+y2g2)=M(X)M(Y).

Следствие:

M(XYZ)=M(X)M(Z)M(Y)

4.       Мат ожидание суммы двух случ величин равно сумме мат ожиданий слагаемых:

M(X+Y)=M(X)+M(Y)

Д-во: Пусть случ величины X и Y заданы следующими законами распределения:

Составим все возможные значения величины X+Y: x1+y1; x2+y1; x1+y2; x2+y2. Обозначим их вероятности соответственно p11, p12, p21 и p22. Мат ожидание X+Y равно:

M(X+Y)=(x1+y1)p11+(x1+y2)p12+(x2+y1)p21+(x2+y2)p22=x1(p11+p12)+x2(p21+p22)+

+y1(p11+p21)+y2(p12+p22).

p11+p12=p, т.к. Событие «Х примет значение х1» влечет за собой событие «Х+Y примет значения x1+y1 или x1+y2», вероятность которого равно p11+p12. Следовательно, p11+p12=p1.

Аналогично: p21+p22=p2; p11+p21=g1 и p12+p22=g2. Получим:

M(X+Y)=(x1p1+x2p2)+(y1g1+y2g2)=M(X)+M(Y)

Следствие:M(X+Y+Z)=M(X)+M(Y)+M(Z)

Дисперсия:

1.       D(C)=0;

Д-во: D(C)=M{[C-M(C)]²}=M[(C-C)²]=M(0)=0.

2.       D(CX)=C²D(X)

Д-во: D(CX)=M{[CX-M(CX)]²}= M{[CX-CM(X)]²}=M{C²[X-M(X)]²}=C²M{[X-M(X)]²}=C²D(X).

3.       D(X+Y) =D(X)+D(Y).

Д-во: D(X+Y) = M[(X+Y)²]-[M(X+Y)]²= M[X²+2XY++Y²]-[M(X)+M(Y)]²=M(X²)+2M(X)M(Y)+

+M(Y²)-M²(X)-2M(X)M(Y)-M²(Y)={ M(X²)-[M(X)]²}+{ M(Y²)-[M(Y)]²}=D(X)+D(Y).

Следствие 1: D(X+Y+Z)=D(X)+D(Y)+D(Z)

Следствие 2: D(C+X)=D(X)+D(C)=D(X)

4.       D(X-Y)=D(X)+D(Y)

Д-во: D(X-Y)=D(X)+D(-Y)=D(X)+(-1)²D(Y)=D(X)+D(Y)

Нормальное распределение

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случ величины, которое описывается плотностью:

где a-мат ожидание, а σ – среднее квадратическое отклонение Х.

1.       D(f)=R

2.      

3.      

4.      

Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (α,β)

P(α<X<β)=Ф((β-a)/σ)-Ф((α-a)/σ), где  – функция Лапласа.

1.       Ф(-∞)=0

2.       Ф(+∞)=1

3.       Ф(-х)=1-Ф(х)

P(mx-l<x<mx+l)=Ф(l/σ)-Ф(-l/σ)=2Ф(l/σ)-1

Асимметрия, эксцесс, мода и медиана нормального распределения соответственно равны:

As=0, Ek=0, M0=a, Me=a, где a=M(x).

Правило «трех сигма».

Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от мат ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

Запишем вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от математического ожидания меньше заданной величины D:

            Если принять D = 3s, то получаем с использованием таблиц значений функции Лапласа:

            Т.е. вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидание на величину, большую чем утроенное среднее квадратичное отклонение, практически равна нулю.

            Это правило называется правилом трех сигм.

Равномерное распределение

На практике очень часто встречаются случ числа, про которые заранее известно, чтоих значения лежат в пределах некоторого интервала, и все значения случ величины одинаково вероятны.

О таких случ числах говорят, что они распределены равномерно. Плотность такого распределения сохраняет постоянное значение, а именно f(x)=1/(b-a). Вне этого интервала f(x)=0.

Вероятность попадания значения случ числа в заданный интервал (a;b), можно вычислить по формуле:  .

График плотности равомерного распределения симметричен относительно прямой x=(a+b)/2, поэтому M(x)=(a+b)/2. Этот же результат можно получить по формуле .

. Подставив формулы, полученные выше, получим D(x)=(b-a)²/12. В таком случае среднее квадратическое отклонение случ числа равно .

Закон Пуассона

Рассмотрим дискретную случ величину Х, которая может принимать целые неотрицательные значения. Говорят, что случ величина распределена по закону Пуассона, если вероятность того, что она примет значение m, выражена формулой:  , где a – параметр Пуассона.

Доказательство:

                                                                      x      

/

/

.

Равенство мат ожидания и дисперсии параметру а используется на практике для решения вопроса правдоподобия гипотезы о том, что случ величина Х распределяется по закону Пуассона.

Пусть на оси абсцисс случ образом распределены точки. Допустим, что случ образом распределенные точки удовлетворяют следующим условиям:

1.    Вероятность попадания того или иного числа точек на отрезок l зависит от их положения на оси абсцисс.

2.    Точки распределяются по оси абсцисс независимо друг от друга.

3.    Вероятность попадания на малый участок ∆х 2х и более точек пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одной точки.

Выделим отрезок длины l и рассмотрим дискретную случ величину Х числа точек, попадающих на этот отрезок.

Докажем, что случ величина Х подчиняется закону Пуассона и посчитаем вероятность того, что на этот отрезок попадет ровно m точек. Рассмотрим маленький участок этой прямой ∆х и вычислим вероятность того, что на этот участок попадет хотя бы одна точка.

Согласно 3му условию вероятность попадания на участок ∆х 2 и более точек ≈0, поэтому мат ожидание будет = вероятности попадания хотя бы одной точки на ∆х.

            Для вычисления вероятности попадания на отрезок l ровно m точек, разделим этот участок на n частей: ∆х = l/n, p=λ∆x=λl/n, q=1-(λl/n).

По условию 2 вероятности попадания точек являются независимыми можно использовать частную теорему повторения опыта:

Параметр a определяется как ср. число точек, попадающих на нужный отрезок.

Функция одного случайного аргумента

Если каждому возможному значению случайной величины Х соответствует одно возможное значение случайной величины Y, то Y называют функцией случайного аргумента X: Y=φ(X).

Рассмотрим случай, когда X- дискретная случ величина с возможными значениями x1…xn, вероятности которых p1…pn. Тогда Yтоже является дискретной случ величиной со всевозможными случ событиями: y=f(x1)…y=f(xn).

Т.к. событие «величина X примет значение xi» влечет за собой событие «величина Y примет значение f(xi)», то вероятности всевозможных значений Y соответственно равны p1…pn.

Мат ожидание случ величины будет рассчитываться: M(y)=M(f(x))=∑f(xi)pi.

При записи закона распределения вероятности y руководствуются следующими правилами:

1.    Если различным возможным значениям X соответствуют различные возможные значения Y, то вероятности соответствующих значений X и Y равны между собой: P(X=xi)=P(y=f(xi))=pi.

2.    Если различным возможным значениям Х соответствуют значения Y, среди которых есть равные между собой, то следует складывать вероятности повторяющихся значений Y.

Рассмотрим непрерывную случ величину Х, которая задана своей плотностью, если у=f(x) дифференцируемая монотонная функция, обратная функция которой x=φ(y), то плотность распределения случ величины y определяется след функцией: g(y)=f[φ(y)|φ’(y)].

Соответствующее мат ожидание:

Если отыскание ф-ии g(y) является затрудненным, то можно исп. след формулу:

.

.

Функция двух случайных аргументов

Если каждой паре возможных значений случ величин X и Y соответствует одно возможное значение случайной величины Z, то Z называют функцией двух случ аргументов X и Y: Z=φ(X, Y).

1.       Пусть X и Y – дискретные независимые случ величины. Для того, чтобы составить закон распределения функции Z=X+Y, надо найти все возможные значения Z и их вероятности. Т.к. X и Y независимые случ величины, то zi=xi+yi, pz=px*py. Если zi=zj, то их вероятности складываются.

2.       Пусть X и Y – непрерывные случ величины. Доказано: если X и Y независимы, то плотность распределения g(z) суммы Z=X+Y (при условии, что плотность хотя бы одного из аргументов задана на интервале(-∞;∞) одной формулой) может быть найдена с помощью формулы:

, где f1, f2 – плотности распределения аргументов.

Если возможные значения аргументов неотрицательны, то g(z) находят по формуле:

Плотность распределения суммы независимых случ величин называют композицией, а закон распределения вероятностей называют устойчивым, если композиция таких законов есть тот же закон. M(z)=M(x)+M(y); D(z)=D(x)+D(y).

Закон распределения двумерной случайной величины

Законом распределения дискретной двумерной случ величины называют перечень возможных значений этой величины, т.е. пар чисел (xi, yj) и их вероятностей P(xi, yj).

Зная закон распределения двумерной дискретной случ величины, можно найти законы распределения каждой из составляющих. Например: События (X=x1, Y=y1)…(X=x1, Y=Ym) – несовместны, поэтому вероятность P(x1) того, что Х примет значение х1, по теореме сложения такова: P(x1)=p(x1, y1)+…+p(x1, ym). Т.о. вероятность того, что Х примет значение xi, равна сумме вероятностей «столбца хi». Аналогично, сложив «строки Yj», получим вероятность P(Y=yj).

Статистическое распределение выборки.  Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма.

Пусть для изучения количественного признака Х из генеральной совокупности извлечена выборка x1…xk объема n. Наблюдавшиеся значения xi признака X называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, - вариационным рядом.

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант xi вариационного ряда и соответствующих им частот ni (сумма всех частот равна n) или относительных частот wi(сумма = 1).

Статистическое распределение выборки можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот.

Эмпирической функцией распределения – называют функцию F*(x), определяющую для каждого значения х относительную частоту события X<x: F*(x)=nx/n, где nx – число вариант, меньших х, n-  объем выборки. Эмпирическая функция обладает следующими свойствами:

1.       Значения эмпирической функции принадлежат отрезку [0;1].

2.       F*(x) – неубывающая функция.

3.       Если x1 – наименьшая варианта, а xk – наибольшая, то F*(x)=0 при x≤x1 и F*(x)=1 при x≥xk.

А. Дискретное распределение признака X. Полигоном частот называют ломанную, отрезки которой соединяют точки (x1,n1)…(xk,nk), где xi – варианты выборки и ni – соответствующие им частоты.

Полигоном относительных частот называют ломанную, отрезки которой соединяют точки (xk,wk), где xk – варианты выборки, а wk- соответствующие им относительные частоты.

Б. Непрерывное распределение признака X. При непрерывном распределении признака весь интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на ряд частичных интервалов длины h, и находят ni – сумму частот вариант, попавших в i-тый интервал. Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h, а высоты равны соотношению ni/h. Площадь прямоугольника равна h(ni/h)=ni – сумме частот вариант, попавших в интервал. Площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h, а высоты равны соотношению wi/h. Площадь прямоугольника равна соответствующей относительной частоте, а площадь гистограммы = 1.

Числовые характеристики статистического распределения

Критерии согласия(критерии Пирсона).

Допустим, что данное статистическое распределение выровнено с помощью некоторой теоретической кривой. Как бы хорошо ни была подобрана теоретическая кривая, между ней и мтатистич. распределением неизбежны некоторые расхождения. Критерий согласия отвечает на вопрос, объясняются ли эти  расхождения ошибками измерения или расхождение явл. существенным и подобранная нами кривая плохо выравнивает статистическое распределение.

Выдвигается гипотеза Н, состоящая в том, что случ величина X подчиняется данному закону распределения. Для того, чтобы принять или опровергнуть гипотезу Н, рассматривают некоторую величину Н, характеризующую степень расхождения теоретического и статистического распределений.

В зависимости от выбора величины Н существует несколько критериев согласия. Используем для доказательства критерий χ² или критерий Пирсона.

Предположим, что произведено m независимых опытов, в каждом из которых случ величина Х приняла некоторое значение. Результаты записываются в виде статистического ряда. Для теоретического значения распределения можно найти теоретическую вероятность попадания случ величины в каждый интервал. Проверим согласованность теоретического и статистического распределений: выберем в качестве меры расхождения сумму квадратов отклонения, взятых с некоторым коэффициентом Сi.

Коэффициент Сi вводится, потому что в общем случае отклонения, относящиеся к различным разрядам нельзя считать равноправными.

Пирсон полагает, что если в качестве веса взятьCi=n/pi, то при больших значениях n распределение величины U обладает следующими свойствами: оно практически не зависит от ф-ии распределения, а зависит только от числа разрядов.

Распределение χ² зависит от параметра r, называемым числом степеней свободы, с увеличением которого распределение медленно приближается к нормальному.

После расчета χ² для статистического распределения по расчетным таблицам находим значение χ-критическое. Если χ² -критическое > χ² -наблюдаемого – нет оснований опровергать гипотезуH.

Функция распределения системы двух случайных величин

Систему случ чисел величин X и Y изображают случ точкой на плоскости с координатами (X,Y), тогда вместо т. используется понятие случ вектора. Функция распределения системы 2х случ величин называется вероятностью совместного выполнения двух неравенств:

P(x,y)=P(X<x)P(Y<y).  Геометрически это означает, что функция распределения есть вероятность попадания случ точки в бесконечный квадрат с вершиной в точке (X,Y), лежащий ниже и левее этой точки.

Свойства функции распределения:

1.       x2>x1, F(x2,y)≥F(x1,y)

y2>y1, F(x,y2)≥F(x, y1)

2.       F(x,-∞)=F(-∞,y)=F(-∞,-∞)=0

3.       F(∞,∞)=1

4.       F(x, ∞)=F(x); F(∞,y)=F(y);

 Плотность распределения системы двух случайных величин.

Плотностью распределения системы 2х случ величин называется вторая смешанная частная производная от функции распределения:

P((x,y)cP∆)=F(x+∆x, y+∆y)-F(x+∆x, y)-F(x, y+∆y)+F(x,y)

Плотность распределения системы случ величин представляет собой плотность распределения массы в точке с координатами x,y.

f(x,y)dxdy

Элем. вероятность f(x,y)dxdy есть вероятность попадания в элемент. прямоугольник со сторонами dx, dy. Эта вероятность равна объему параллелепипеда, ограниченного сверху поверхностью f(x,y) и отражающегося на элементарный участок dxdy.

Свойства плотности:

1.       f(x,y)≥0

2.        - полный объем тела, ограниченного поверхностью распределения с плоскостью xOy = 1.

 Условные законы распределения.

Зная совместный закон распределения можно легко найти законы распределения каждой случайной величины, входящей в систему. Однако, на практике чаще стоит обратная задача – по известным законам распределения случайных величин найти их совместный закон распределения. В общем случае эта задача является неразрешимой, т.к. закон распределения случайной величины ничего не говорит о связи этой величины с другими случайными величинами. Кроме того, если случайные величины зависимы между собой, то закон распределения не может быть выражен через законы распределения составляющих, т.к. должен устанавливать связь между составляющими. Все это приводит к необходимости рассмотрения условных законов распределения.

             Определение. Распределение одной случайной величины, входящей в систему, найденное при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение, называется условным законом распределения. Условный закон распределения можно задавать как функцией распределения, так и плотностью распределения.

            Условная плотность распределения вычисляется по формулам:

            Условная плотность распределения обладает всеми свойствами плотности распределения одной случайной величины.

Зависимые и независимые случайные величины.

2 случ величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина.

Следовательно, условные распределения независимых величин равны их безусловным распределениям.

Теорема: Для того, чтобы случайные величины X и Y были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы (X, Y) была равна произведению функций распределения составляющих:

F(x, y)=F1(x)F2(y)

Доказательство: а) необходимость. Пусть X, Y –независимы, тогда X<x, Y<y тоже независимы и P(X<x, Y<y)=P(X<x)P(Y<y); F(x,y)=F1(x)F2(y).

б) Достаточность: Пусть F(x, y)=F1(x)F2(y) => P(X<x, Y<y)=P(X<x)P(Y<y) => X, Y- независимы.

Следствие: Для того, чтобы непрерывные случайные величины X и Y были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы плотность совместного распределения системы (X, Y) была равна произведению плотностей распределения составляющих:

f(x, y)=f1(x)f2(y)

Доказательство: а) необходимость. Пусть X и Y – независимые непрерывные случайные величины. Тогда F(x,y)=F1(x)F2(y). Дифференцируя это равенство по x, затем по y, имеем:

 или f(x, y)=f1(x)f2(y).

б) достаточность: Пусть f(x, y)=f1(x)f2(y). Интегрируя по х, затем по у, получим

 или F(x,y)=F1(x)F2(y). => X, Y – независимы.

Метод наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов (МНК) - метод оценки параметров модели на основании экспериментальных данных, содержащих случайные ошибки. В основе метода лежат следующие рассуждения: при замене точного (неизвестного) параметра модели приблизительным значением необходимо минимизировать разницу между экспериментальными данными и теоретическими (вычисленными при помощи предложенной модели). Это позволяет рассчитать параметры модели с помощью МНК с минимальной погрешностью.

Мерой разницы в методе наименьших квадратов служит сумма квадратов отклонений действительных (экспериментальных) значений от теоретических. Выбираются такие значения параметров модели, при которых сумма квадратов разностей будет наименьшей – отсюда название метода:

  = min

где Y – теоретическое значение измеряемой величины, y – экспериментальное.

При этом полученные с помощью МНК параметры модели являются наиболее вероятными.

Метод наименьших квадратов, а также его различные модификации (нелинейный МНК, взвешенный МНК и т.д.) широко используется в аналитической химии, в частности, при построении градуировочной модели. Как правило, предполагается линейная зависимость (параметры которой требуется установить) между аналитическим сигналом и содержанием определяемого вещества. В этом случае метод наименьших квадратов позволяет оптимизировать параметры градуировки (и получить наименьшую погрешность анализа), а сумма квадратов разностей теоретического и экспериментального значения аналитического сигнала является мерой погрешности градуировки и линейно связана с так называемой остаточной дисперсией (дисперсией адекватности модели)

Статистика - это общественная наука, т.е. объектом её изучения выступают различные стороны жизни общества.

Предметом статистики выступает количественная сторона массовых социальных явлений и процессов в неразрывной связи с качественной стороной, изучаемая применительно к к конкретным условиям, местам и времени.

Известно, что стоимость ВВП РБ за 2000 г. 9125,6 млрд. руб. в текущих ценах

Теоретические основы и методы статистики

Теоретической основой статистики является экономическая теория, философия, социология и др. общественные науки.

Методы - это специфические приёмы и способы, используемые статистикой при изучении общественных явлений.

Этапы(методы) статистики:

Сбор первичных статистических данных о массовых явлениях и процессах(Статистическое наблюдение).

Обработка и систематизация собранных данных(Сводка и группировка материалов статистического наблюдения).

Анализ сводных материалов и выявление закономерностей в изучаемых явлениях (Определение обобщающих статистических показателей (абсолютных и относительных величин, средние показатели, показатели вариации, показателей динамики (изменение во времени), индексов), табличный и графический материал).

Организация и задачи статистики в РБ

С точки зрения организации все статистические органы подразделяются на 2 части:

1) органы государственной статистики (Министерство Статистики и анализа, областные управления статистики, районные отделы статистики , вычислительные центры, НИИ статистики),

2) органы ведомственной статистики(работники министерств и организаций всех отраслей экономики)

Задачи статистики

-Организация статистического наблюдения, сбор и обработка статистических данных о происходящих в республике экономических и социальных процессах

-Анализ стат. данных и предоставление руководящим органам РБ докладов и предложений по актуальным проблемам развития страны в целом, её регионов и отраслей.

-Теоретическая работа. Совершенствование работы статистики, а именно организация методики статистического наблюдения, форм статистической отчётности, системы показателей, сближение их со стандартами международных организаций.

-Информационная.Публикация в печати сообщении об экономическом и социальном развитии страны, издание справочников, бюллетеней, расширение гласности статистической информации.

-Международное сопоставление уровней экономического развития государств.

Статистическое наблюдение

Статистическое наблюдение – это первая стадия статистического исследования. Оно представляет собой планомерную, научно-организованную систематическую работу по сбору массовых первичных данных о явлениях и процессах общественной жизни, включая оценку их полноты и достоверность. В любом статистическом наблюдении различают 3 этапа:

-Подготовка наблюдения т.е. разработка программы и орг. Плана проведения наблюдения.

-Непосредственный сбор материалов

-Контроль данных перед их последующей обработкой

Основными требования, предъявляемые статистическому наблюдению: Достоверность статистических данных; полнота данных; своевременность их предоставления; точность и единообразие данных, минимальная трудоёмкость и себестоимость проведения наблюдения

Основными формами статистического наблюдения

Статистическая отчётность (годовая, квартальная, месячная),Специально организованное наблюдение(перепись населения, социологическое исследование и т.д.)

Виды статистического наблюдения можно классифицировать по ряду признаков:

По полноте охвата наблюдения(Сплошное, Не сплошное (в том числе выборочное))

По времени проведения(непрерывные (текущие, постоянные),периодические,Единовременные)

К способам проведения стат. Наблюдения относятся

Непосредственный учёт фактора,документальный учёт, опрос людей (респондентов):анкетный, экспедиционный, корреспондентский и т.д.

План статистического наблюдения состоит их 2х разделов

-Программно-методологические вопросы стат. наблюдения (цель и задачи исследования, объект наблюдения, единица наблюдения, регистрируемые признаки или вопросы, статистические формуляры и инструкции по их заполнению)

-Организационные вопросы (место и время наблюдения, кадры, материально-техническая база, источники финансирования)

Ошибки статистического наблюдения – это расхождения между результатами наблюдения и истинным значением величины исследуемого явления.

Различают 2 вида ошибок: Ошибки регистрации, Ошибки выборки – репрезентативности.

Эти ошибки также подразделяются на случайные и систематические, преднамеренные и непреднамеренные.

Завершающим этапом статистического наблюдения является контроль полноты и достоверности данных. Контроль может быть логическим и математическим.

Сводка вторая стадия статистического исследования . Её понятие, организация и техника проведения

Сводка – научная обработка нервичных данных в целях получения обобщающих показателей изучаемого явления, но ряду существенных для него признаков.

Сводка должна строиться на основе всестороннего теоретического анализа изучаемого явления.

Этапы сводки:

1) Систематизация и группировка материалов собранных при стат. наблюдениях.

2) Обоснования систем показателей для характеристики типичных групп и подгрупп.

3) Подсчёт числа единиц и итоговых показателей в группах и подгруппах.

4) Оформление результатов в виде таблиц и графиков.

Перечисленные этапы стат. сводки отражаются в программе и орг. плане стат. сводки.

С точки зрения её организации стат. сводка может быть централизована и децентрализована.

По технике выполнения сводка бывает ручная и механизированная.

Задачи и виды статистических группировок, выбор группировочных признаков, определение группировочных интервалов.

Стат. группировка – первой этап сводки

Группировка – расчленение множества единиц объекта наблюдения на однородные группы и подгруппы, но опред. существенным для них признаком.

Осн. задачи:

· выделение социально-экономических типов

· изучения структуры явления

· установление связи и зависимости между явлениями.

Решаются эти задачи соответственно с помощью трех видов группировок:

· типологических

· структурных

· аналитических

Выделяют также ещё два вида группировок:

Вторичная – это перегруппировка материалов, ранее собранных в группу.

Комбинационная – это группировка материалов не по одному, а по двум и более признакам.

Абсолютные величины. Способы их получения и единицы измерения.

Абсолютные величины – форма количественного выражения абсолютных размеров социально-экономических явлений.

Виды абсолютных величин можно классифицировать:

а) по обхвату элементов изучаемой совокупности –индивидуальные, групповые, общие;

б) по признаку характеристики самой совокупности – показатели численности совокупности, показатели объема признака совокупности;

в) по признаку характеристики процесса развития абсолютной величины характеризуют: уровнем явлений на определенный момент времени, результаты процессов за определенный период времени;

Способы получения абсолютных величин: непосредственно во время статистического наблюдения; в результате сводки статистических данных; расчетный способ.

Абсолютные показатели всегда имеют единицы измерения. Единицы их измерения могут быть натуральные (км, м, чел), трудовыми и стоймостными.

Относительные величины в статистике, виды относительных величин

Относительная величина – мера количественного соотношения статистических показателей, которая отражает относительные размеры социально-экономических явлений.

Относительная величина получается как частное от деления одной величины (текущей отчетной, сравниваемой) на другую величину (базисную, основанием сравнения).

В зависимости от задач, решаемых с помощью относительных величин, различают их следующие виды:

Относительная величина динамики – выражается через соотношение фактической величины показателя за отчетный период к фактической величине показателя за предыдущий период;

Относительная величина планового задания – отношение установленного планом значения показателя на отчетный период к его фактическому значению за предыдущий период.

Относительная величина выполнения плана – отношения фактического значения показателя за отчетный период к его плановому значению на тот же отчетный период.

При этом произведение относительной величины планового задания и выполнения планов (в форме коэффициентов) равно относительной величине динамики.

Относительная величина сравнения – соотношения величины одноименных показателей, относящихся к разным объектам или разным территориям;

Относительная величина структур – соотношения величины (части какого либо целого) в величине этого целого;

Относительная величина координации – соотношение частей какого-либо целого между собой;

Относительная величина интенсивности – соотношение размеров двух качественно различных явлений.

Большинство относительных величин являются безразмерными и выражаются в форме коэффициентов или процентов. Только относительная величина интенсивности имеет единицу измерения, которая образуется из единиц измерения числителя и знаменателя.

Сущность и значение средних величин. Основные научные положения исчисления теории о средних величинах

Введём следующие понятия и обозначения.

Х – усредняемый признак, т.е. признак, по которому рассчитывается средняя величина.

Xi – Значения или варианты признака Х у отдельных единиц совокупности.

N – Число единиц совокупности

– искомая величина.

Под средней величиной понимается обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень признака в расчёте на единицу однородной совокупности явлений.

Совокупность была весьма однородная.

Основные научные значения средних величин. Основными направлениями использования средних величин в экономическом анализе являются:

1) Характеристика уровня массовых общественных явлений.

2) Изучение тенденций развития явлений во времени.

3) Проведение сравнительного анализа.

4) Измерение взаимосвязи между явлениями.

5) Планирование и контроль хода экономических процессов.

Основными требования, применяемые к научному исчислению средних величин, являются

1) Их расчёт должен производиться по однородным, однокачественым явлениям

2) Правильный выбор единицы явления, на которую рассчитывается средняя величина

3) Расчёт и исчисление величина основе достоверных данных по всему кругу явлений или по типичной их части

4) При расчёте средних величин необходимо достижение сравнимости исходных данных.

Целесообразность использования не одного, а системы средних величин для характеристики массовых явлений.

Виды средних величин

В статистике наиболее часто встречаются и используются следующие 4 вида средних величин:

1) Среднее арифметическое

2) Среднее гармоническое

3) Среднее квадратическое

4) Среднее геометрическое

Из указанных средних чаще всего применяется среде арифметическое, реже – среднее гармоническое. Среднее квадратическое используется при исчислении показателей вариации и в тех случаях, когда приходятся усреднять величины, входящие в исходную информацию в виде квадратных функций. Среднее геометрическое – при расчёте средних темпов динамики

Для определения конкретного вида средней величины в статистике имеется критерий в виде определяющего свойства средней, т.е. выбор правильного вида средней зависит от механизма формирования общего объёма изучаемого признака. Если общие объём признака образуется как сумма отдельных вариант, то применяется среднее арифметическое, если как сумма обратных значений вариант, то применяется среднее гармоническое, если как сумма квадратов значений вариант, то среднее квадратическое, если как произведение отдельных вариант – то среднее геометрическое.

Все средние величины в зависимости от характера исходных данных подразделяются на простые и взвешенные. Основой для вычисления простых средних служат индивидуальные значения признака по каждой единице совокупности. Основой для вычисления взевешенных средних служат группированные данные по исследованию данного признака.

Средняя арифметическая величина, её свойства и способы вычисления

Средняя арифметическая простая величина определяется по формуле .

Средняя арифметическая взвешенная величина определяется по формуле , Fi – частота повторение признака Xi у различных единиц совокупности.

Рассмотрим свойство средней арифметической. Для уяснения сущности и упрощения расчётов средней арифметической величины используются следующие основные свойства.

Среднее от постоянной равно ей самой

Увеличение или уменьшение одно и того же величну приводит к изменению средней на ту же величину.

Умножение/деление каждого варианта в А раз изменяет среднюю во столько же раз.

Изменение каждого из весов в одно и тоже количество раз не изменяет величины среднего показателя.

Алгебраическая сумма отклонений всех вариантов от средней арифметической равно 0

Среднее от суммы или разности нескольких величин равна сумме средних значений этих величин.

0 Сумма квадратов отклонений от средней арифметической меньше, чем от любой другой величины.

1) При наличии всех индивидуальных или сгруппированных значений признака X, полученных в результате статистического наблюдения применяют формулу простой средней или взвешенной средней.(см. пfр. 1, 2)

2) При определении средней арифметической в интервальном ряду распределения осуществляется в 2 этапа:

a. Рассчитывается середина каждого интервала, которая принимается за новое значение Х, при этом для открытых интервалов их ширина условно принимается равной ширине соседних или смежных интервалов

b. Рассчитывается средняя арифметическая величина по формуле взвешенной средней

Для упрощения расчёта средней арифметической в интервальной ряду распределения с равными интервалами используется способ «моментов». Его суть основана на использовании свойств средней арифметической. Из всех вариантов Xi вычитается постоянная А, за которое принимается середина центрального интервала, или интервала, обладающего наибольшей частотой.

Полученные разности деляться на ширину интервала H, в результате которого выделяется новая переменная X’i.В качестве весов используются значения частот, выраженные в долях или процентах от общего объёма совокупности. . Далее рассчитывается среднее значение для преобразованных вариантов X’. . Далее рассчитывается средняя величина среднего признака. В тех случаях, когда известно суммарное значение признака Х по всей совокупности и общее количество единиц изучаемой совокупности, то расчёт средней арифметической величины, расчет Х- осуществляется по формуле агрегатной средней

Средняя гармоническая величина

Средняя гармоническая простая определяется по формуле

Средняя гармоническая простая определяется по формуле

По своему определяющему свойству средняя гармоническая применяется в тех случаях, когда общий объём признака формируется как сумма обратных значений вариант. В то же время, средняя гармоническая величина является также преобразованной средней арифметической.

Решение о применении о среднее арифметической либо средней гармонической зависит в каждом отдельном случае от наличия исходной информации для расчёта средней. Для облегчения решения о выборе среднего показателя усредняемы признак Х нужно представить в виде соотношения двух других признаков.

Если среди исходных данных наряду со значениями Х имеются значения величины Z, являющиеся знаменателями данного отношения, то используется среднее арифметическое, с весами, равными Z.

Если среди исходных данных наряду со значением X имеются значения величины У, являющиеся числителем отношения, то применяется формула средней гармонической с весами равными Y.

Мода и медиана. Их использование в статистике

Мода

Под модой в статистике понимается значение признака или вариант, который чаще всего встречается в данной совокупности.

В дискретном ряду распределения модой является вариант, обладающий наибольшей частотой

1) Выбирается модальный интервал

2) Рассчитывается значение моды по формуле

3)

Hmo-величина модалшьного интервала

xmo – нижняя граница интервала.

Fm0 -Это частоты модального, предмодального и послемодального интервала.

Медиана

Под медианой понимается значение признака или вариант, который находится в середине ранжированного, т.е. упорядоченного рядораспределения. Медиана делит ряд на 2 равные части, по количеству единиц совокупности, при этом у одной половины единиц значение признака меньше медианы, а у второй половины единицы больше медианы. Для дискретного рядораспределения с нечётным количеством членов n номер медианного варианта определяется как (n-1)/2. Если n четная, то медианой будет являются среднее значение 2 вариантов n/2 и n/2-1.

Медиана равна 680 000 руб. Расчёт медианы в интервальном ряду распределения осуществляется в 2 этапа. Выделяется медианный интервал и рассчитывается значение медианы по формуле.

H_me – ширина медианного интервала.

– сумма частот ряда.

Sme – сумма накопленного ряда предшествующих медиане. Частота медианного интервала.

Понятие вариации и признака, показатели вариации и признака и методы из расчёта

Под вариацией признака понимаются количественные различия( колеблемость значений этого признака у отдельных единиц совокупности). Значение показателей вариации заключается в следующем:

1) они дополняют средние величины, за которыми скрываются индивидуальные различия признака.

2) Показатели вариации характеризуют степень однородности статистической совокупности по данному признаку.

3) Они характеризуют границы признака

4) Соотношение показателей вариации

В статистике чаще всего применяются следующие показатели вариации:

1) Размах вариации (R) Характеризует пределы изменения варьирующего признака R= X_max-X_min

2) Среднее линейное (арифметическое, абсолютное отклонение)

3) Среднее квадратичное отклонение
Размах вариации, среднее линейное и среднее квадратическое отклонение характеризуют абсолютную колеблимость признака и выражается в тех же единицах измерения.

4) Дисперсия величина безразмерная, не имеет единиц обозначения.

5) Коэффициент вариации
Это отношение среднего квадратического отклонения в средней арифметической величине данного признака, выраженная в форме коэффициента или в процентах.

Коэффициент вариации является относительной мерой вариации и позволяет сравнивать степень колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностей явлений, с разным уровнем среднего показателя, а также степень вариации различных признаков.
Кроме того, коэффициент вариации является в известной степени критерием типичности среднего признака.

---

Дисперсия. Её математические свойства и способы расчёта.

1) Дисперсия признака обладает рядом математических свойств, которые упрощают технику её расчёта. Если все значения признака уменьшить или увеличится на постоянную величину A, то дисперсия не изменится

2) Если все значения признака увеличить/уменьшить в А раз, то величина дисперсии увеличится/уменьшится в А² раз.

3) В мат. Статистике доказано, что для величины А выполняется равенство

т.е. средний квадрат отклонений признака X от произвольной величины А

Свойство минимальности дисперсии. Дисперсия от средней арифметической величины всегда меньше дисперсии, исчисленной от любой другой величины А, причём эта разница равна

Дисперсия признака X равна среднему квадрату значений признака минус квадрат среднего значения признака.

Для упрощения расчёта дисперсии признака в интервальном ряду распределения с равными интервалами, используется «способ моментов»

… Варианты признака А заменяются условными значениями признака x по формуле
h – ширина интервала.A – середина центрального интервала, обладающего наибольшей частотой

2 этап. Рассчитывается дисперсия условий X’ =m2-m1

Квадрат моментов первого порядка

3 этап. Рассчитывается исходной величины Х по формуле

Дисперсия альтернативного признака

Альтернативным называется признак, в котором единицы изучаемой совокупности могут либо обладать, либо не обладать. Наличие признака у единицы совокупности обозначим цифрой 1, а его отсутствие – цифрой 0. P - Долю единиц, обладающих признаком в общей численности всей совокупности, а через q – долю единиц, не обладающих признаком. P+q = 1

Определим среднюю арифметическую величину и дисперсию альтернативного признака.

Среднее значение альтернативного признака равно доле единиц, обладающих признаком

Дисперсия равна произведению доли единиц обладающих на число, дополняющее эту долю до единицы.

Виды дисперсий, правило сложения дисперсий и его использование в анализе взаимосвязей между явлениями.

На вариацию какого-нибудь результативного признака оказывают влияние различные факторы.

Если произвести группировку совокупности по какому-либо факторному признаку, то можно выделить 3 вида дисперсии результативного признака.

Общая дисперсия Характеризует вариацию результативного признака по всей совокупности явлений под влиянием всех факторов

Средняя из внутригрупповых дисперсий отражает вариацию результативного признака под влиянием всех факторных признаков, за исключением факторного признака, положенного в основу группировку

Ni –веса численности x

Межгрупповая дисперсия. Характеризует вариацию результативного признака, обусловленную влиянием только группировочного факторного признака.

В математической статистике доказано, что между этими 3мя видами дисперсий существует тесная связь, которая получила название «Правило сложения дисперсий»

Для оценки степени влияния группировочного факторного признака на результативный признак, рассчитываются следующие показатели:

1) Эмпирический коэффициент детерминации

Обусловлен вариацией группировочного признака.

2) Эмпирический корреляционный коэффициент. Характеризует тесноту связи между результативным и группировочным признаком.
Если при изучении квалификации работников на их заработную плату было получено. Это означает, что 64% вариации заработной платы зависит от их квалификации. Остальные 36% обусловлены влиянием других признаков. Корреляционный коэффициент 0.8 показывает, что связь фактора и зарплаты сильная.

Понятие и принципы организации выборочного наблюдения

Статистическое наблюдение по полноте охватываемого объекта может быть сплошным или несплошным. Сплошное – все единицы совокупности. Несплошное – исследуется выборочные элементы совокупности.

Выборочное наблюдение – несплошное наблюдение, при котором статистическому обследованию подвергаются не все единицы совокупности, а лишь отобранные в определенном порядке. Целью выборочного наблюдения является получение информации по отобранной части единиц, которые позволяют достоверно судить об обобщающих показателях всей совокупности.

Научными принципами организации проведения выборочного наблюдения являются: обеспечение случайности отбора единиц совокупности, большое число отобранных единиц.

Полученная с соблюдением этих принципов выборочная совокупность является репрезентативной, т.е. ее данные будут весьма хорошо характеризовать всю совокупность.

Применение выборочного наблюдения: изучение качества товара; при проведении социологических и других единовременных обследований; в сочетании со сплошным наблюдением или для уточнения его результата; в целях экономии сил, средств и времени при проведении исследований.

Введем некоторые понятия и обозначения:

Генеральной совокупностью называется вся совокупность единиц, изучаемых по некоторым признакам. Ее численность обозначим через N. Выборочная совокупность – часть единиц всей генеральной совокупности, отобранных в случайном порядке. Ее численность – n. Обобщающими показателями, характеризующими генеральную или выборочную совокупность, являются и – генеральная и выборочная средние величины. P и W – генеральная и выборочные доли. и – генеральная и выборочная дисперсии. Задача выборочного наблюдения состоит в статистической оценки показателей генеральной совокупности на основе показателей выборочной совокупности.

Способы и виды отбора единиц в выборочную совокупность

В теории выборочного метода разработаны разные способы отбора и виды выборки. Под способом отбора понимают порядок отбора единиц из генеральной совокупности. Он может быть повторным или бесповторным. Каждая отобранная в случайном порядке единица в случае повторной выборки после ее обследования возвращается в генеральную совокупность и может снова попасть в выборку. При бесповторном отборе каждая отобранная единица не возвращается в генеральную совокупность. В зависимости от методики формирования выборочная совокупность бывает:

Собственно случайная выборка – осуществляется из генеральной совокупности при помощи жребия или по таблицам случайных чисел;

Механическая выборка заключается в отборе единиц в генеральной совокупности в каком-либо механическом порядке;

При типической выборке генеральная совокупность предварительно делится на группы по какому-либо типическому признаку, а затем внутри каждой группы производится случайный или механический отбор.

При серийной выборке в случайном порядке отбираются не отдельные единицы, а группы единиц. Затем внутри групп производится сплошное обследование.

Комбинированная выборка – несколько способом отбора. Применяется с целью обеспечения наиболее репрезентативной выборки при минимальных трудовых и денежных затратах.

Ошибки выборочного наблюдения

Ошибками репрезентативной выборки называются расхождения между обобщающими результатами. Ошибки выборки бывают систематическими и случайными. Систематические ошибки возникают в результате нарушения научных принципов выбора и ведут к ошибкам смещения, которые бывают преднамеренными и непреднамеренными. Случайные ошибки выборки возникают в результате случайных различий между единицами выборочной и генеральной совокупностей. В статистике различают среднюю (стандартную) и предельную случайные ошибки выборки. Средняя ошибка выборки характеризует среднюю величину возможных отклонений обобщающих показателей генеральной совокупности от соответствующих показателей выборочной совокупности. Средняя ошибка выборки рассчитывается по формуле:

При изучении среднего значения многовариантного признака

Для повторной выборки:

Для бесповторной выборки

При изучении доли альтернативного признака

Для повторной выборки

Для бесповторной выборки

Вывод о том, что генеральное среднее или генеральная доля е выйдут за установленные пределы средней ошибки может быть сделан лишь с определенной вероятностью, на которую указывает коэффициент доверия (t).

Предельной ошибкой выборки принято считать максимально возможное отклонение выборочных показателей от генеральных, т.е. максимальные ошибки при заданной вероятности ее появления. Предельная ошибка определяет по формуле:

А) Для среднего значения признака

Б) Для доли альтернативного признака

Где t – коэффициент доверия.

Между значением вероятности и величиной коэффициента доверия t существует зависимость, определяемая интегралом Лапласа.

При вероятности 0.683 t = 1. 0.954 t = 1. 0.997 t=3.

Предельная ошибка выборки позволяет определить предельное значение показателей генеральной совокупности при заданной вероятности и их доверительные интервалы:

Для среднего значения признака

Для доли альтернативного признака

Определение объема (численности) выборки

Проведение выборочного наблюдения предполагает определение необходимого объема, т.е. численности выборки. Расчет объема выборки осуществляется с помощью формул, полученных путем преобразования формул средней и предельной ошибок выборки, соответствующих тому или иному способу или виду выборки.

Необходимая численность определяется по формуле:

При изучении средней величина многовариантного признака

Для повторной выборки

Бесповторная выборка

При изучении доли альтернативного признака

Для повторной выборки

Для бесповторной выборки

Способы распространения результатов выборочного наблюдения на генеральную совокупность

Способы зависят от целей.

1. Цель – определение обобщающих показателей генеральной совокупности.

· Метод – устанавливаются предельные значения и доверительный интервал для показателей генеральной совокупности.

2. Цель – определение объема признака для генеральной совокупности по результатам выборки

· Метод – производится прямой пересчет показателей выборки на генеральную совокупность

3. Цель – уточнение результатов сплошного наблюдения

· Метод – используется способ поправочных коэффициентов

Понятие о рядах динамики, их виды и правила построения

Динамический ряд – последов-сть числовых значений стат. показателя, расположенных в хронологическом порядке.

Любой ряд динамики состоит из двух элементов: 1.факторы времени(t); 2.уровня ряда (y_t), характеризующего величину или размер явления.

В зависимости от фактора времени выделяют:

1.Интервальные ряды(назыв. ряды динамики, уровни которых характеризуют размеры явления за определенные промежутки времени или интервалы(годы, месс. и т.д))

2.Моментные(ряды динамики, уровни которых характеризуют размеры явления на определенные моменты времени(дата и т.д))

Показатели интервальных рядов, состоящих из абсолютных величин, можно суммировать. Показатели моментных таким свойствам не обладают.

Научными принципами построения и анализа рядов явл.: 1.однокачественность и сопоставимость уровней ряда динамики. Несопоставимость показателей можно устранить при помощи смыкания рядов или приведения к единому основанию. 2.периодизация рядов динамики, т.е. выделение однокачественных признаков. 3.использ. системы взаимосвязанных рядов стат. показателей при изучении соц-эк. явлений

Аналитические показатели рядов динамики

Исходными показателями ряда динамики явл. cами уровни ряда(yt). Изм-ие уровней в рядах динамики можно охар-ать след аналитич. показателями: 1.Абсолютный прирост; 2.Темп роста; 3.Темп прироста 4.абсолютное значение 1% прироста

Абсолютные приросты характеризуют абсолютные изменения в уровне ряда динамики и могут быть рассчитаны цепным и базисным способом.

Абсолютные приросты цепным способом опред. путем вычитания из каждого послед. уровня ряда динамики его предыдущего уровня. (∆_цi=y_i-y_i-1)

А базисным способом – путем вычитания из последующего уровня динамики его начального уровня, принятого за базу сравнения (∆_Бi=y₁-y₀)

Сумма послед. абс. приростов=базисному абс. приросту за весь период.

Темпы роста и темпы прироста характ-ют интенсивность изм-ия уровней ряда и явл. относительными показателями ряда динамики. Они могут быть рассчитаны цепным и базисным спос-ами. Цепные темпы роста опред. путем деления каждого послед. ур-ня ряда динамики на предыд., а базисные темпы роста путем деления каждого послед. ур-ня ряда динамики на его начальный, т.е. базисный ур-нь. Выраж. они в виде коэф. или %.[Т_рцi=; Т_рБi=100%]. При этом произведения цепных темпов роста в виде коэф.=базисному темпу роста: 1,250*0,880*1,091=1,200.

Темп прироста – это отнош-ие соотв-его абсол. прироста к к предыд. или к базисному уровню ряда. [Т_пр.цi=100%; Т_пр.Бi=100%].

Темпы прироста можно также рассчитать на основании темпов роста по формуле: [Т_пр=Тр-1; Т_пр=Т_р (%)-100%]

Непосредственной связи между цепными и базисными темпами роста не сущ.

Абсолютное значение 1% прироста =частному от деления абс. прироста на темп прироста, выраж. в %; рассчитывается только цепным способом [А_i=]. Этот показатель также можно рассчитать как 1/100 от предыд-его уровня ряда динамики, т.е. А_i=1/100* y_i-1.

Средние показатели рядов динамики

Средние показатели явл. обощ-ими показателями рядов динамики. К ним относ.: 1.Средние абс. уровни ряда динамики; 2.Ср. абсол. приросты; 3.Ср. темпы роста; 4.Ср. темпы прироста.

Средние абсол. ур-ни динамики опред. по формуле:

а)в интервальных рядах с равными интервалами У= (у-сумма уровней ряда, n-число ур-ей ряда).

б)в интервальных рядах динамики с неравными интервалами: У= (t-число периодов времени приведенных к равным периодам.

в)в моментных рядах динамики с равными промежутками между соседними наблюд-ями по формуле ср. хронолог-ой: У=, где у₁ и у_n – нач. и конечн. ур-ни ряда, n- число уровней ряда.

г)в моментных рядах динамики с неровными промеж времени между его ур-нями У рассчитывается путем взвешивания полусумм смежных ур-ней ряда по длительности периода времени между ними, т. е. y=

Средний абсолютный прирост может быть рассчитан: ∆=; ∆=, где ∆_ц - цепные абс. прироста, у_n, у_о – базисный (нач.) и конечный ур-ни ряда.

Средние темпы роста расчитыв по формуле ср. геометрической: Т_пр= (цепные темпы роста в виде коэффициентов) Т_пр=

Средние темпы прироста опред. по формуле: Т_пр=Тр-1; Т_пр=Т_р (%)-100%

Статистические методы выявления основной тенденции в развитии явлений. Понятие об интерполяции и экстраполяции.

Ур-нь любого соц-эк. явления формир. в общем случае под воздействием факторов двоякого рода. Во-первых, это существ-ие внутр. осн. причины, присущие всем ур-ням ряда динамики. Во-вторых, это случайные внешние индивид. причины, влияющие на отдельные ур-ни ряда.

Задача статистики при исследовании закономерности рядов динамики заключ. в сглаживании случайных колебаний ур-ней ряда и сведению их к закономерному устойчивому среднему ур-ню.

Основными методами выявления статист. закономерностей (тенденций развития) рядов динамики явл.:1.Метод укрупнения интервалов(суть закл. в замене индивид. ур-ней ряда за короткие периоды времени на их значения за более длит. периоды времени)

2.Метод скользящей средней величины( Выравнивание ряда динамики заключ.: а)выбир. период обобщения с тем, чтобы выравнивание ур-ней ряда было бы достаточно устойчивым. Если имеются периодич. или сезонные колебания, то период обобщения берется равным периоду этих колебаний. б)по выбранному периоду обобщения рассчитыв. ср. величина и ставится на середину этого периода. След. ср. величина исчисляется путем сдвига на 1 ур-нь вниз. в)путем сравнения скользящих средних делается вывод о наличии или отсутствии тенденций в рядах динамики. При выравнивании по четному числу ур-ней в периоде обобщения (напр. n=4) скользящие средние ставятся между перидами, а затем на след. этапе производится «центрирование средних», т.е. новое сглаживание по двухчленному периоду.

3.Метод аналитич. выравнивания уровней ряда динамики (исп-ся. для выявления закономерностей необходима зависимость между уровнями ряда (у₂) и фактором времени(t) аналитически выразить в виде уравнения)

Так, например, при оценке равномерного развития зависимость уровнями ряда и фактором времени может быть выражена уравнением прямой линии: ŷ_t =а_о+а₁t (ŷ_t – рассчитанные, т.е. выравненные ур-ни ряда динамики; t-фактор времени(его порядковый номер) а_о, а₁-параметры ур-я.

Если изменения ур-ней ряда происходят с переменным ускорением, то такую зависимость можно выразить пораболой 2-го порядка: ŷ_t =а_о+а₁t +а₂t² Если уровни ряда увеличиваются в геом. прогрессии, то исп-ся ур-ния экспоненты ŷ_t =а_о+а₁t. Параметры каждого из ур-ний рассчит. по методу наим. квадратов, т.е чтобы сумме отклонений фактич. отклонений и выравн. значений было минимальным: ∑(y_t-ŷ_t)→min

параметры ур-ния прямолин. зависимости опр-ся из следующей с-мы норм-х ур-ний:

а_оn+а₁∑t=∑y_факт

а_о∑t+ а₁∑t²=∑yt. Для упрощения расчётов пар-ра а_о и а₁за начало отсчета можно принять центр. интервал, или момент времени, тогда ∑t=0, имеем:

а_о; а₁=. Интреколяция ряда динамики заключается в нахождении недостающих членов ряда по ур-нию тренда. При экстраколяции на основе выровненных рядов динамики предсказ-ся дальнейшее развитие явления во времени, т.е осущ-ся прогнозные расчеты показателей динамики.

Изучение сезонных колебаний

Сезонным колебаниям наз-ся более или менее устойчивые изменения по внутригодовым периодам(месяцам, кварталам).

Для выявления и измерения сезонных колебаний исп-ся спец. показатели – индексы сезонности, совокупность которых образует сезонную волну.

Способы определения индекса сезонности зависят от хар-ра осн. тенденции рядов динамики. Выделим 2 случая:

А. В стабильных рядах динамики, в которых ож-ется явная тенденция к росту или убыванию, индексы сезонности в % опред. по формуле: I_st=, где у_t – факт. ур-ни рядов динамики за тот или иной месяц, у-средний арифм. ур-нь ряда динамики за этот же период врем-и.

Для исключения элементов случайности индексы сезонности исчисл-ся обычно по данным за несколько лет(напр. за 3 года)

Б. В рядах динамики с отчетливой тенденцией развития, т.е. увелич. или уменьш. ур-ней от года к году, предварительно осущ. выравнивание ур-ней ряда. В случае аналитич. выравнивания ряда динамики I_s в % опред. по формуле: I_st=()n, где -фактич. ур-нь ряда за опред. одноим. период; - число лет

Понятие об индексах. Задачи, решаемые индексным методом. Виды индексов

Индексы (в статистике) – относительные величины, служащие для изучения показателей сложных соц. – экономических явлений.

Основными задачами, решаемыми с использованием индексного метода, являются:

-Получение обобщающих показателей для сравнения совокупностей, состоящих из разнородных элементов ------Изменение влияния отдельных факторов на изменение результативных обобщающих показателей.

-Анализ изменения средних уровней качественных показателей под воздействием структурных сдвигов внутри изучаемой совокупности.

Индексы можно классифицировать на след. виды:

В зависимости от выбора базы сравнения: индексы динамики; индексы выполнения плановых заданий; индексы территориальных/пространственных сравнений

По характеру индексируемого показателя:- индексы объемных показателей, которые служат для измерения общего суммарного размера явления ( кол-во проданных товаров, численность работников и др.);- индексы качественных показателей, которые характеризуют уровень изучаемого явления в расчете на единицу совокупности (цена единицы товара, себестоимость ед. продукции и др.);

По охвату элементов совокупности:- индивидуальные (рассчитываются по отдельным элементам совокупности);- сводные (общие) (рассчитываются по группе элементов или по совокупности в целом). Сводные индексы по методам расчета делятся на агрегатные и средние из индивидуальных.

Индексы выражаются в виде коэффициентов или в процентах.

Агрегатные форма свободных (общих) индексов

Для получения общих итогов по разнородным элементам индексируемый показатель необходимо рассматривать не изолированно, а во взаимосвязи с некоторыми др. показателем, который в статистике называется соизмерителем или весом сводного индекса. Выбор весов определяется характером индексируемого показателя. Рассмотрим 2 случая:

1) Агрегатные индексы объемных показателей.

Весами объемных показателей является тесно связанные с ними качественные показатели. Напр., при анализе динамики физ.объема товарооборота в качестве весов будут выступать цены этих товаров.

Введем след. обозначения: q – физ.объем или кол-во товара (объемный показатель), p – цена единицы товара (качественный показатель), Q – стоимость товарооборота (результативный показатель), 0 – базисный период, 1 – отчетнвй период, i – индивидуальный индекс, I – сводный (общий) индекс,Q = ∑ q p

Тогда сводный агрегатный индекс стоимости товарооборота будет равен: . Этот индекс характеризует изменение стоимости товарооборота под воздействием 2х факторов: кол-ва проданных товаров и цен на это товары.

ПРАВИЛО: при построении сводных агрегатных индексов объемных показателей веса фиксируются обычно на уровне базисного года. Тогда сводный агрегатный индекс физ.объема товарооборота равен:

2)Агрегатные индексы качественных показателей

Для качественных показателей весами будут являться тесно связанные с ними объемные показатели. При анализе динамики цен в качестве весов будут выступать количество проданных товаров. Для качественных показателей веса фиксируются обычно на уровне отчетного периода, тогда агрегатный индекс цен равен:. Между этими 3мя сводными индексами сущ-ет взаимосвязь:

Приведенные сводные агрегатные индексы позволяют также определить абсолютный прирост стоимости товарооборота (Q) в отчетном периоде по сравнению с базисным, в т.ч. за счет изменения:

Физ.объема продажи товаров (q);Изменения цен (p):

,В т.ч. и

При этом сущ-ет след взаимосвязь:

Изложенная индексная методология применяется и в других случаях.

Напр., , где Q – общие затраты на производство всей продукции, q – кол-во произведенной продукции, Z – себистоимость единицы продукции (затраты на единицу).

, где Q – объем произведенной продукции, T – численность работников, W – производительность труда 1го работника.

,где B – валовой сбор с/х продукции, S – посевные площади, Y – урожайность.

Средние индексы и их виды

Сводные индексы могут быть также рассчитаны как средняя величина из индивидуальных индексов. Выведем соответствующие формулы для сводных индексов физ.объема товарооборота и цен.

Т.о. сводный индекс физ.объема товарооборота равен ср. арифметической величине из индивидуальных индексов этого показателя, взвешенных по стоимости товарооборота базисного периода.

Т.о. сводный индекс цен равен ср. гармонической величине из индивидуальных индексов цен, взвешенных по стоимости товарооборота отчетного периода.

Ряды индексов с постоянной и переменной базой сравнения. Индексы с постоянными и переменными весами.

Если необходимо проанализировать развитие соц.-экономических явлений за несколько последовательных периодов времени, то в этом случае рассчитывается система индексов с постоянной и переменной базой сравнения, т.е. система базисных и цепных индексов.

При построении системы базисных индексов в знаменателе всех индексов берется индексируемая величина базисного периода, а при построении системы цепных индексов каждая индексируемая величина сравнивается с предшествующей.Система цепных и базисных индексов может быть исчислена как для отдельного элемента сложного явления (система индивидуальных индексов), так и для всего сложного явления в целом (система общих агрегатных индексов).Индивидуальные базисные и цепные индексы тождественны базисным и цепным относительным величинам динамики (базисным и цепным темпам роста).

При построении системы базисных или цепных агрегатных индексов веса во всех индексах можно брать либо одинаковые во всех индексах, т.е. постоянные, либо меняющиеся от одного индекса к другому, т.е. переменные.

Согласно теории агрегатных индексов, постоянные веса, как правило, берутся при построении системы индексов количественных показателей.

Так система агрегатных индексов физ.объема имеет след. вид:

· базисные индексы с постоянными весами

; и т.д.

· цепные индексы с постоянными весами

; и т.д.

Переменные веса, как правило, веса отчетного (текущего) периода, обычно берутся при построении системы индексов качественных показателей. Так, система агрегатных индексов цен имеет след. вид:

· базисные индексы с переменными весами

; и т.д.

· цепные индексы с переменными весами

; и т.д.

Аналогично строятся системы цепных и базисных индексов с переменными и постоянными весами для других показателей.

Взаимосвязи индексов и выявление роля отдельных факторов в изменении сложного явления

Индексный метод позволяет определить влияние не только 2х, но любое число факторов, формирующих сложное явление (результативный показатель). Если результативный фактор можно представить как последовательное произведение двух и более отдельных факторов, то такая связь называется мультипликативной. Напр., производительность труда одного рабочего за месяц (среднемесячная выработка, y) равна его среднечасовой выработке (a), умноженное на среднее число отработанных часов за смену (среднюю продолжительность рабочего дня,b) и на среднее число отработанных за месяц дней (среднюю продолжительность рабочего месяца, c). Получаем след. 3хфакторную мультипликативную индексную модель: y=abc. А т.к. между индексами показателей сущ-ет такая же связь, как имежду показателями, то .Решение индексных мультипликативных моделей зависит от того, с какого фактора, экстенсивного или интенсивного, начинается произведение факторов-сомножителей в исследуемой модели:

если система взаимосвязи факторов начинается с интенсивного (качественного) показателя a, то еще не рассмотренные факторы берутся на уровне отчетного периода, а рассмотренные остаются на уровне базисного:

если система взаимосвязи факторов начинается с экстенсивного (количественного) показателя a, то еще не рассмотренные факторы берутся на уровне базисного периода, а рассмотренные остаются на уровне отчетного:

Чтобы изменить абсолютное изменение результативного показателя в целом (∆y), нужно из числстеля его индекса вычесть знаменатель ∆y=y₁-y₀=a₁b₁c₁-a₀b₀c₀

Общее абсолютное изменение результативного показателя равно сумме абсолютных изменений за счет влияния всех исследуемых факторов, формирующих данное явление: ∆y=∆y_(a)+∆y_(b)+∆y_(c)

Расчеты абсолютных изменений результативного показателя за счет изменения каждого показателя-фактора по каждой модели можно произвести 2мя способами.

1) разностным:

фактор a – интенсивный показатель:∆y_(a)= a₁b₁c₁-a₀b₁c₁=b₁c₁(a₁-a₀), ∆y_(b)=a₀b₁c₁-a₀b₀c₁=a₀c₁(b₁-b₀), ∆y_(c)= a₀b₀c₁-a₀b₀c₀=a₀b₀(c₁-c₀)

фактор a – экстенсивный показатель:∆y_(a)= a₁b₀c₀-a₀b₀c₀=b₀c₀(a₁-a₀),∆y_(b)=a₁b₁c₀-a₁b₀c₀=a₁c₀(b₁-b_{0 ,}∆y_(c)= a₁b₁c₁-a₁b₁c₀=a₁b₁(c₁-c₀)

2) упрощенным (с помощью индексов):

фактор a – интенсивный показатель:∆y_(a)=y₁/I_a*∆ I_a;∆y_(b)= y₁/I_a/I_b *∆ I_b;∆y_(c)= y₁/I_a/I_b /_c*∆ I_c;

фактор a – экстенсивный показатель:∆y_(a)=y₁*∆ I_a;∆y_(b)= y₁*I_a *∆ I_b;∆y_(c)= y₁*I_a*I_b *∆ I_c.

Индексный метод анализа изменения среднего уровня показателя. Индексы переменного состава, постоянного состава и структурных сдвигов.

Изменение ср. уровня сводного качественного показателя можно представить как результат воздействия 2х факторов:

1. изменение уровней самого индексируемого показателя у отдельных единиц совокупности

2. изменение структуры изучаемой совокупности, т.е. доли единиц совокупности с разными значениями признака в общем объеме совокупности.

Анализ динамики ср. уровня качественного показателя осущ-ся при помощи след. взаимосвязанных индексов:

Это сводный индекс переменного состава. Он характеризует изменение ср. уровня качественного показателя в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом под влиянием обоих факторов.

Это сводный индекс постоянного состава. Он характеризует изменение ср. уровня качественного показателя только за счет изменения индексируемой величины при постоянной структуре совокупности.

Это сводный индекс структурных сдвигов. Он выражает влияние изменения структуры совокупности на изменение ср. уровня качественного показателя.

Между сводными индексами сущ-ет след. взаимосвязь:

= *

Приведенные позволяют также определить абсолютный прирост среднего уровня качественного показателя в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом, в т.ч. за счет изменения каждого из факторных показателей, как разность между делимым и делителем соответствующих сводных индексов. При этом выполняется равенство:

Построение территориальных/ пространственных индексов

Территориальные или пространственные индексы характеризуют соотношение соц.-экономических явлений в пространстве и служат для проведения межгосударственных, межрайонных, межхозяйственных и других сопоставлений.

Базой сравнения при построении пространственных индексов может быть любой из анализируемых объектов. Для получения однозначных результатов при проведении 2хсторонних сравнений целесообразно:

1) в сводных индексах объемных показателей в качестве весов принимать средние по предприятиям или территориям качественные показатели. Напр., при сопоставлении объекта A с объектом B территориальный индекс будет равен:

, где - ср. по 2м объектам цена

2) в сводных индексах качественных показателей весами будут являться суммарные величины соответствующих объемных показателей по предприятиям или территориям:

, где q=q_A+q_B

Виды и формы взаимосвязи, изучаемые в статистике. Задачи статистического измерения взаимосвязей.

Качественный анализ изучаемого явления позволяет выделить основные причинно-следственные связи данного явления, установить факторные и результативные признаки.

Взаимосвязи, изучаемые в статистике, могут быть классифицированы по ряду признаков:

1)По характеру зависимости: функциональные (жесткие), корреляционные (вероятностные)

Функциональные связи – это связи, при которых каждому значению факторного признака соответствует единственное значение результативного признака.
При корреляционных связях отдельному значению факторного признака могут соответствовать разные значения результативного признака.

Такие связи проявляются при большом количестве наблюдений, через изменение средней величины результативного признака под воздействием факторных признаков.

2) По аналитическому выражению: прямолинейные, криволинейные.

3) По направлению: прямые, обратные

4) По числу факторных признаков, которые оказывают влияние на результативный признак: однофакторные, многофакторные

Задачи статистического изучения взаимосвязей: Установление наличия направления связи; количественное измерение влияния факторов; измерение тесноты связи; оценка достоверности полученных данных.

Статистические методы изучения взаимосвязей между явлениями

Для исследования функциональных связей, в статистике широко используются индексный и балансовый методы. Индексный метод применяется в статистике для анализа так называемых компонентных связей, при которых изменение какого-либо сложного явления определяется изменением входящих в него компонентов - сомножителей или слагаемых.Балансовый метод используется при анализе связей и пропорций в развитии экономики страны, её предприятий, а также в образовании и распределение ресурсов, доходов, продукции и т.д.

Основными методами изучения корреляционных связяй явл.: метод параллельных рядов, метод аналитических группировок, регрессионно-корреляционный анализ

Метод сравнения параллельных рядов применяется для установления направления и характера связи между факторным и результативным признаками, представленными данными в виде 2х || рядов. Направление и теснота связи между указанными признаками могут быть измерены при помощи коэффициента корреляции рангов (коэффициента «Спирмена». d – разность рангов, т.е. порядковых номеров, кот. Занимает каждая ед. совокупности по факторному и результативному признакам в ранжированном (упорядоченном)ряду

Если ρ(ро) > +1, то имеет место прямая тесная корреляции рангов.

Если ρ (ро) стремится к -1, то имеет место обратная тесная корреляция рангов

Если ρ (ро) »0, то корреляция рангов отсутствует, т.е. признаки не связаны между собой.

. При использовании метода аналитических группировок производится предварительная группировка статистического материала по факторному и результативному признакам. Затем для измерения направления и тесноты связи между указанными признаками рассчитывается эмпирическая традиционная отношения

, ŋ² - эмпирический коэф. корреляции, δ² межгр. и общ. - межгруп. и общая дисперсии результативного признака

Задачи, решаемые методом регресионно-корряляционного анализа (РКА). Выбор формы связи и построение уравнения регрессии

Сущность регрессионно-корреляционного анализа заключается в построении и анализе экономико-математической модели, которая выражает зависимость результативного признака от определяющих его факторных признаков, в виде уравнения регрессии. В общем виде эта зависимость:, у – результативный признак, х – факторный признак

Основные задачи, решаемые в процессе РКА:

1. Определение теоретической формы связи и расчёт параметров уравнения регрессии.

2. Измерение тесноты связи между результативным и факторным признаками

Выбор формы связи между признаками осущ-ся на основе теор. Анализа сущности явления и характера исходных данных. При этом для построения однофакторных моделей м.б. выдвинута гипотеза о наличии взаимосвязи в виде прямой линии: , уравнения параболы: , гиперболы и т.д.

Для нахождения параметров каждого из уравнений используется метод наименьших квадратов, а именно , - факт-ое знач. результ-го признака, - теоретич. знач., расчит. по уровню регрессии.

В частности, параметры уравнения прямолинейной парной регрессии определяются из следующей системы уравнений.

a0 *n + a1Σx = Σy

a0* Σx+a1* Σx²= Σyx

Измерение тесноты корреляционной связи при криволинейных и прямолинейных зависимостях

Определение тесноты связи между результативным и факторным признаками базируется на теории дисперсионного анализа

1. В случае криволинейной зависимости теснота и направление связи между указанными признаками измеряется при помощи индекса корреляции (теоретического корреляционного отношения)

- факторная дисперсия, кот. Хар-ет вариацию признака у, обусловленную только фактором х, - общая дисперсия у под влиянием всех признаков.

2. При линейной зависимости в этих целях используются линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по одной из следующих формул

,

Если R, r → +1, то связь между х и у прямая и тесная (близкая к функциональной)

Если R, r →-1. то обратная и тесная

Если R, r » 0, то связь отсутствует